Un problème d'optimisation

On souhaite fabriquer des boîtes de rangement en bois, sans couvercle, d'une contenance de 6 000 cm \(^3\) . Elles ont la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur 15 cm et de base un rectangle ayant pour dimensions `x` et `y` exprimées en cm. On considère que l'épaisseur des planches est négligeable.

1. On suppose, dans cette question uniquement, que `x=10`  .

    a. Calculer `y` .

    b. Calculer l'aire, en cm \(^2\) , de la surface en bois de la boîte de rangement.

2. Pour toute valeur de \(x>0\) , on note \(A(x)\)  l'aire de la surface en bois d'une boîte de rangement.

Démontrer que, pour tout \(x>0\) , \(A(x)= 30x +400+ \dfrac{12~000}{x}\) .

3. Quelles dimensions doit-on donner à ces boîtes pour que leur surface en bois ait une aire minimale ?